מבחן - תורת המספרים - אוניברסיטת ת"א - סמסטר ב - מועד א - 2003

מתוך Howmath

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

[עריכה] מידע כללי

מבחן בתורת המספרים, אוניברסיטת ת"א, לתלמידי מתמטיקה שנים ב' ו-ג'
המרצה - דוד סודרי
משך המבחן - 3 שעות
חומר עזר מותר - מחשבון

[עריכה] שאלות

א.ענה על אחת מבין השאלות 1-2

1.הוכח כי לכל מספר ראשוני p קיים שורש פרמיטיבי מודולו p.
2.נסח והוכח את משפט השאריות הסיני.

ב.ענה על שלוש שאלות מתוך 3-6.

3. א.הראה כי הפיתרונות היחידים לקונגוראציה x^4 + 5x^3 + 4x^2 - 6x - 4  \equiv 0\ (mod\ 11)
הם x \equiv 1, -2\ (mod\ 11)
ב.הוכח כי לכל מספר k טבעי, הפיתרונות היחידים לקונגוראציה x^4 + 5x^3 + 4x^2 - 6x - 4  \equiv 0\ (mod\ 11^k)
הם x \equiv 1, -2\ (mod\ 11^k).
4.פתור בשלמים את המשוואה \left( x^2-41y^2 \right)^2 = 1.
5.א.חשב את a = \min \{ 2x^2 -3xy + 7y^2 | x,y \in \mathbb{Z}, gcd(x,y) = 1 \}
ב.חשב את \min \{ 2x^2 -3xy + 7y^2 | x,y \in \mathbb{Z}, gcd(x,y) = 1, 2x^2 -3xy + 7y^2 > a \}
6.א.חלק עם שארית את 5+4\sqrt{3} ב- 1+2\sqrt{3} בחוג \mathbb{Z}[\sqrt{3}]
ב.הראה כי שני האיברים הנ"ל זרים בחוג \mathbb{Z}[\sqrt{3}]

ג.ענה על אחת מבין השאלות 7-8

7.נתבונן במשוואה x2 + y2 = 2 כאשר x,y > 0 רציונלים. נכתוב x = \frac{a}{b} , y = \frac{c}{b}, כאשר a,b,c טבעיים ו - gcd(a,b,c) = 1.
א.נניח כי b>1, הוכח כי b אי זוגי.
ב.יהי p ראשוני מחלק את b. הוכח כי p \equiv 1 \ (mod\ 4).
ג.פתור את המשוואה, כאשר b=65.
8.נניח כי a שארית ריבועית מודולו p ראשוני, כך ש p \equiv 5 \ (mod\ 8). הוכח כי x = a^{\frac{p+3}{8}} או x= 2a(4a)^\frac{p-5}{8} פותר את הקונגרואציה x^2 \equiv a \ (mod\ p).

[עריכה] פיתרונות

[תהיה/תהיי הראשונ/ה לפתור שאלה מהמבחן]


כלים אישיים